Формула простых процентов

Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель

Важным макроэкономическим показателем выступает процентная ставка. Процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в кредит. Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.

Очень часто в экономической литературе пользуются термином «процентная ставка», хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.

Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием рыночного механизма: если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином «процентная ставка»

Различают номинальные и реальные процентные ставки

Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня инфляции. Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:

= i — %ΔP

  • — реальная процентная ставка;
  • — номинальная процентная ставка;
  • — общий уровень цен.

Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%).

Способы начисления процентов:

Декурсивный способпроценты начисляются в конце каждого интервала начисленияссудный процент
Антисипативный способпроценты начисляются в начале каждого интервала начисленияучетная ставка

— проценты за весь срок ссуды

  • — первоначальная сумма долга
  • — наращенная сумма, то есть сумма в конце срока
  • — ставка наращения процентов
  • — срок ссуды
Простая процентная ставка Сложная процетная ставка
Начисленные за весь срок проценты:
Наращенная сумма

Простая процентная ставка

График роста по простым процентам

Пример

Определить проценты и сумму накопленного долга если ставка по простым процентам 20% годовых , ссуда равна 700 000 руб., срок 4 года.

  • I = 700 000 * 4 * 0,2 = 560 000 руб.
  • S = 700 000 + 560 000 = 1 260 000 руб.

Ситуация, когда срок ссуды меньше периода начисления

  • — число дней ссуды
  • — временная база начисления процентов (time basis)

Временная база может быть равна:

  • 360 дней. В в этом случае получают обыкновенные или коммерческие проценты.
  • 365 или 366 дней. Используется для расчета точных процентов.

Число дней ссуды

  • Точное число дней ссуды — определяется путем подсчета числа дней между датой ссуды и датой ее погашения. День выдачи и день погашения считаются за один день. Точное число дней между двумя датами можно определить по таблице порядковых номеров дней в году.
  • Приближенное число дней ссуды — определяется из условия, согласно которому любой месяц принимается равным 30 дням.

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:

  • Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
  • Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (банковский; 365/360). При числе дней ссуды, превышающем 360, данный способ приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой.
  • Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360). Применяется в промежуточных рассчетах, так как не сильно точный.

Пример. Ссуда в размере 1 млн.рублей выдана 20 января до 5 октября включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? Рассчитать в трех вариантах подсчета простых процентов.

Для начала определим число дней ссуды: 20 января это 20 день в году, 5 октября — 278 день в году. 278 — 20 = 258. При приближенном подсчете — 255. 30 января — 20 января = 10. 8 месяц умножить на 30 дней = 240. итого: 240 + 10 + 5 = 255.

Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)

S = 1 000 000 * (1 + (258/365)*0.18) = 1 127 233 руб.

Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (360/365)

S = 1 000 000 * (1 + (258/360)*0.18 = 1 129 000 руб.

Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (360/360)

S = 1 000 000 (1 + (255/360)*0.18 = 1 127 500 руб.

Переменные ставки

В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется следующим образом:

Финансы

Главные характеристики

Любой вклад, или депозит, в финансовом учреждении можно охарактеризовать четырьмя главными чертами:

Ставка процента.
Способ выплаты процентов (в конце срока или периодично).
Условия досрочного снятия всей или части суммы.
Возможность пополнения до истечения срока его действия.

Все остальное – это так называемые «дудочки и свисточки», придуманные, как и сами названия вкладов, для привлечения внимания к банковскому продукту. Тем не менее и с этими нюансами тоже стоит ознакомиться в целях исключения скрытых издержек. Например, дополнительное страхование вклада, различные комиссии, плата за снятие денег и прочие хитрости. В последнее время они почти не применяются, но бдительность терять не следует. И во всех случаях нужно помнить, что любой банк, любое финансовое учреждение в убыток себе ради клиента работать не будет. Если с 3-м и 4-м пунктом вопросов, как правило, не возникает, рассмотрим формулу начисления простых процентов по вкладу.

Особенности банковских вкладов со сложным процентом

Следует помнить, что прибыль при расчете сложного процента растет по экспоненте, приобретая лавинообразную тенденцию. В этом и состоит привлекательность сложного процента при инвестировании. Альберт Эйнштейн в шутку называл сложный процент мощнейшей силой во вселенной.

Чтобы понять ключевое различие между простым вкладом и вкладом с капитализацией рассмотрим пример:

  1. Вы вложили 100 000 рублей на 20 лет под 15%. Дополнительных взносов нет. Всю прибыль вы снимаете.
  2. Вы вложили те же 100 000 рублей на тех же условиях. Дополнительных взносов нет. Каждый год проценты прибыли прибавляются к основной сумме.
простой процентсложный процент
годсуммаприбыльсуммаприбыль
1115 000,00р.15 000,00р.115 000,00р.15 000,00р.
2130 000,00р.15 000,00р.130 000,00р.17 250,00р.
3145 000,00р.15 000,00р.147 250,00р.19 500,00р.
4160 000,00р.15 000,00р.166 750,00р.22 087,50р.
5175 000,00р.15 000,00р.188 837,50р.25 012,50р.
6190 000,00р.15 000,00р.213 850,00р.28 325,63р.
7205 000,00р.15 000,00р.242 175,63р.32 077,50р.
8220 000,00р.15 000,00р.274 253,13р.36 326,34р.
9235 000,00р.15 000,00р.310 579,47р.41 137,97р.
10250 000,00р.15 000,00р.351 717,44р.46 586,92р.
11265 000,00р.15 000,00р.398 304,36р.52 757,62р.
12280 000,00р.15 000,00р.451 061,97р.59 745,65р.
13295 000,00р.15 000,00р.510 807,63р.67 659,30р.
14310 000,00р.15 000,00р.578 466,92р.76 621,14р.
15325 000,00р.15 000,00р.655 088,07р.86 770,04р.
16340 000,00р.15 000,00р.741 858,11р.98 263,21р.
17355 000,00р.15 000,00р.840 121,32р.111 278,72р.
18370 000,00р.15 000,00р.951 400,03р.126 018,20р.
19385 000,00р.15 000,00р.1 077 418,23р.142 710,00р.
20400 000,00р.15 000,00р.1 220 128,23р.161 612,73р.

По итогам 20го года банковские счета 1 и 2 будут содержать, соответственно, 400 000 рублей и 1 220 128 рублей

Разница очевидна и дает ясное представление о важности капитализации и эффекта сложного процента как инструментов инвестирования на длительном временном отрезке

Какая схема более выгодна

На первый взгляд кажется, что ответ на вопрос, как выгоднее инвестировать, очевиден. На самом деле, не всегда просто решить, на какой вид счета положить свои активы: с более высокой ставкой под простые проценты или с меньшей ставкой с рефинансированием средств?

Прибыльность процентной надбавки к базовой сумме интересна с точки зрения кладчика далеко не всегда. Перед тем, как принять решение, рекомендуется собрать все имеющиеся предложения от банков и просчитать каждый вариант самостоятельно по формулам. Тогда станет понятно, при каких условиях депозит принесет наибольший пассивный доход.

На официальных сайтах многих банков доступна удобная опция онлайн калькуляции доходности вкладов. Она позволит сравнить условия разных банковских программ и выбрать наиболее оптимальную.

Грамотный просчет начисления процентов является эффективным финансовым инструментом и помогает получить максимальную выгоду от хранения активов

Важно понимать, что выбор схемы начисления зависит от параметров вклада и условий, предлагаемых банком. При выборе оптимальной стратегии накопления можно получить внушительный пассивный доход

Формула расчета сложных процентов по банковскому вкладу

Сложные проценты отличаются от простых тем, что выплаты на банковский вклад осуществляются в течение периода его размещения.

Пример задачи. Необходимо рассчитать размер банковского вклада, который был размещен по сложный процент. Первоначальный размер депозита составляет 100000 руб., годовая процентная ставка равна 14%, период начисления процентов – каждые 4 месяца, срок размещения вклада 1 год.

Формула расчета сложных процентов:

Размер вклада со сложными процентами на конец года =B6*(1+B8*B9/B7)^4

Пример расчета сложных процентов в Excel

Метод сложных процентов имеет широкое использование в финансовом анализе и применяется для дисконтирования денежных потоков. Более подробно о методе дисконтирования читайте в статье: “Дисконтирование денежных потоков (DCF). Формула. Расчет в Excel“.

★ Программа InvestRatio – расчет всех инвестиционных коэффициентов в Excel за 5 минут(расчет коэффициентов Шарпа, Сортино, Трейнора, Калмара, Модильянки бета, VaR)
+ прогнозирование движения курса

Сложный процент — что это? Пример

Предлагаю рассмотреть понятие “сложного процента” на примере. Так будет намного удобнее и доходчивее. Предположим, что вы положили 10 000 рублей в банк на депозитный счет под 10% годовых на 10 лет, без ежемесячных взносов. Через год у вас будет 11 000 рублей. Если прибыль не трогать и оставить на счете, то на следующий год начисления будут производиться от 11 000. Тогда доход составит 1100 рублей, вместо 1000. Спустя 10 лет, следуя этому принципу, у вас будет уже без малого 26 000 рублей.

ГодБазовая сумма начисления% по депозитуИтоговая сумма с учетом %
110000.001000.0011000.00
211000.001100.0012100.00
312100.001210.0013310.00
413310.001331.0014641.00
514641.001464.1016105.10
616105.101610.5117715.61
717715.611771.5619487.17
819487.171948.7221435.89
921435.892143.5923579.48
1023579.482357.9525937.43
Итого15937.4325937.43

Простыми словами сложный процент — это когда начисляемые проценты прибавляются к телу вклада и учитываются при дальнейшем начислении прибыли.

Следует отметить, что наибольшую выгоду сложные проценты приносят при долгосрочном инвестировании. Лучше всего это можно заметить, сравнив их с простыми. Поэтому предлагаю разобрать два небольших примера.

  1. Представим, вы вложили свои деньги — 100 000 рублей на 10 лет под 15% годовых. Дополнительные взносы отсутствуют, а получаемая прибыль выводится.
  2. Во втором случае условия те же, но только прибыль теперь не снимается. А прибавляется к основной сумме вклада и участвует в начислении % каждый год.

Все расчеты приведены в таблице для большей наглядности.

Думаю, комментарии излишни. Вы сами прекрасно видите отличие первого варианта от второго. Как одно маленькое условие может кардинально изменить итоговую сумму. Процентная ставка одна и та же, а вот начисления по сложным процентам намного выгоднее, чем по простым. Еще лучше заметна эта разница на графике.

Рост доходности по простым % линейный, а вот по сложным экспоненциальный. Лучше всего это проявляется на длинном промежутке времени. Когда начальный капитал увеличивается в объемах, словно снежный комок. Из периода в период сумма прибыли становится все больше и больше. Способствует этому то, что сама прибыль накапливается и производит новую.

Формула расчета сложного процента по вкладам в банках

Для тех, кто хочет сам понять какую сумму он получит вложив деньги под сложный процент в банке есть специальная формула реинвестирования или капитализации вклада:

S=K * (1+r/t)

где,

K — это ваша первоначальная сумма, которую вы внесли в банк,

r — годовая процентная ставка, под которую вы положили в банк, например, 10% годовых — это 0,1, 12% годовых — это 0,12

t — количество выплат по процентам в год, например, если проценты начисляются ежегодно, то t=1, ежеквартально t=4, ежемесячно t=12

ТМ — количество периодов начисления процентов, т.е. если вы открыли вклад на 2 года, то при ежеквартальном начислении периодов будет 8, при ежемесячном TM будет равно 24.

S — сумма, которая окажется у вас на счету по истечении срока вклада.

Пример.

Вы открыли вклад на срок 2 года, под 12% годовых, капитализация процентов ежеквартальная. Вы внесли 10 000 рублей.

Какая сумма будет у вас в конце срока?

K=10 000 r=0,12% t=4 TM=8

Получаем, S=10 000 * (1+0.12/4)∧8 = 12 668 рублей.

Итого за 2 года подобный вклад принесет вам 2 668 рублей или 26,68% доходности.

Если, для примера взять простое начисление процентов под те же 12% годовых на 2 года, с ежегодным начислением, но без капитализации, то в конце срока сумма будет немного меньше, а именно 2 400 рублей или 24% доходности.

Конечно, разница в 2,68% не такая уж и большая. Но все меняется если изменится сумма вклада в большую сторону или же увеличиться срок вклада. Именно на больших временных интервалах разница между простым и сложным начисление процентов наиболее заметна. На длительных интервалах времени разница в достигнутом результате может изменяться в разы. Недаром Ротшильды (богатейшее семейство планеты) называли сложные проценты «восьмым чудом света«.

Поэтому, при поиске более выгодного вклада в банках, обращайте внимание на вид начисление процентов. Для того, чтобы точно рассчитать проценты по депозитам с капитализацией, воспользуйтесь калькулятором доходности вкладов

Для того, чтобы точно рассчитать проценты по депозитам с капитализацией, воспользуйтесь калькулятором доходности вкладов.

Сложные проценты по вкладу

Формулы сложных процентов в математике встречаются постоянно, особенно если речь идёт об экономических задачах. Представьте, что вам нужно рассчитать прибыль от банковского вклада за несколько лет. Для этого понадобится такая информация:

  • начальная сумма вклада (K нулевая или К)
  • ставка доходности (R) — переводится из процентов в число (10% = 0.1)
  • количество периодов реинвестирования, то есть лет (n)

Конечная сумма при расчёте сложных процентов по вкладу

Пример задачи: Инвестор П. положил на депозит в банке 10000$ под 10% годовых. Какую прибыль он получит через 5 лет?

K = 10000$ * (1 0.1)5 = 16105.1$

P (%) = K/К0 — 1 = 16105.1$ / 10000$ — 1= 61.05%

Формула расчёта сложных процентов для поиска стартовой суммы вклада

Пример задачи: Инвестор В. хочет узнать, сколько ему надо вложить рублей под 20% годовых сейчас, чтобы через 3 года стать рублёвым миллионером. 

Кроме суммы вклада, через формулу можно найти и остальные параметры. Например, зная стартовую и конечную сумму, можно узнать процентную ставку или количество периодов реинвестирования.

Формула расчёта сложных процентов по вкладу для поиска нужной процентной ставки

Пример задачи: Инвестор Р. хочет выяснить, вклад с какой процентной ставкой ему нужен, чтобы заработать 10000$ за 3 года, изначально вложив 20000$.

K = К0  P = 20000$ 10000$ = 30000$

Чтобы получить такую доходность, банковский депозит не подойдёт, а вот консервативный ПАММ-счёт — вполне.

Расчёт сложных процентов по вкладу — поиск нужного количества периодов реинвестирования

Пример задачи: сколько лет нужно держать деньги на депозите в банке под 25% годовых, чтобы 50000 рублей превратить в 100000?

Кстати, если речь идёт о банке, то 3.11 лет округляются до 4 — вы обычно не можете снять свои деньги до окончания периода действия вклада. Условия конкретного инвестиционного инструмента всегда стоит учитывать при решении подобных задач.

Кроме рассмотренных нами задач существуют и более сложные. Например, довольно распространённая история — у инвестора есть вклад с возможностью пополнения. Часть каждой зарплаты отправляется туда и надо выяснить, какой же будет результат по итогам.

Пример задачи: Инвестор З. вложил 1000$ и откладывает 50$ каждый месяц. Процентная ставка — 1% в месяц. Какая сумма накопится через 5 лет?

Расчёт результатов инвестирования с доливками, с учётом сложных процентов

Разумеется, считать эти таблички каждый раз — довольно напряжно, решать логарифмы — тем более. Поэтому специально для вас при помощи программы Microsoft Excel я сделал небольшой файлик для решения задач по сложным процентам.

Отличие простых процентов от сложных на самом деле довольно большое. При выборе депозитного продукта наверняка каждому приходилось слышать о таком понятии, как капитализация. То есть это та схема начисления прибыли, при которой начисленная прибыль причисляется к телу депозита, а на него в будущем снова начисляется доход.

Отсюда можно сделать вывод, что капитализация позволяет получить большую прибыль по сравнению с простым процентом. Чтобы наглядно в этом убедиться рассмотрим формулу расчета сложных процентов, а выглядеть она будет следующим образом: B=(K×H×P/N)/100, где:

  • B – размер начисленной прибыли;
  • K – тело депозита;
  • H – годовая ставка;
  • P – количество дней, в течение которых происходит капитализация;
  • N – число дней в году.

Чтобы наглядно понять, как именно будет рассчитываться сложный процент. Рассмотрим простой пример. Сумма депозита 50000 рублей процентная ставка в год 7%, капитализация осуществляется ежемесячно, срок действия договора один год. Произведем расчет прибыли за первый месяц пользования депозитом: B=(50000×7×30/365)/100=287,6 рублей – это прибыль за первый месяц. В следующем периоде расчет будет выглядеть следующим образом: B=(50287,6×7×31/365)/100=298,9 рублей.

Из вышеприведенного примера можно сделать вывод, что капитализация позволяет получать с каждым месяцем большую прибыль по сравнению с предыдущим

Вот только при выборе депозитного предложения обязательно обратить внимание, с какой периодичностью осуществляется капитализация процентов, чем чаще, тем больше выгоды получает клиент

Простые проценты

На практике применяются три варианта расчета простых процентов:

  • точные проценты с точным числом дней ссуды (английская практика). Обозначается как 365/365 или АТС/АТС.
  • обыкновенные (коммерческие) проценты с точным числом дней ссуды (французская практика). Обозначается как 365/360 или АТС/360.
  • обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (германская практика). Обозначается как 360/360.
    По схеме 360 количество дней к году принимается равным 360 (в каждом месяце по 30 дней).
    Пример. Определить приближённое число дней между 12.02.2019 и 27.08.2020.
    Если год рассматривается как промежуток, содержащий 12 месяцев продолжительностью 30 дней (дивизор равен 360 дней), то приближённое число дней рассчитывается следующим образом:
    где y — номер года, m — номер месяца в году, d — номер дня в месяце.
    n = 360*(2020-2019)+30*(8-2)+(27-12) = 555 дней

Pin

Когда срок финансовой сделки не равен целому числу лет:
S=P·(1+tT·i)
где t — срок в днях, T — временная база (365 или 360)

Примеры задач на простые проценты

Решить

  1. Ссуда в размере P = 1 млн.руб. выдана d1 = 20.01 до d2 = 05.10 включительно под i = 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применить три метода расчёта срока ссуды.
    Начальная дата: 20.01, конечная дата: 05.10, количество дней между датами: 258
    Январь, 11 дней: с 21.01 по 31.01
    Февраль, 28 дней: с 01.02 по 28.02
    Март, 31 день: с 01.03 по 31.03
    Апрель, 30 дней: с 01.04 по 30.04
    Май, 31 день: с 01.05 по 31.05
    Июнь, 30 дней: с 01.06 по 30.06
    Июль, 31 день: с 01.07 по 31.07
    Август, 31 день: с 01.08 по 31.08
    Сентябрь, 30 дней: с 01.09 по 30.09
    Октябрь, 5 дней: с 01.10 по 05.10
    Итого: 11 + 28 + 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 31 + 30 + 5 = 258
    S=P·(1+tT​·i)
    1) Точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365)
    S=1 000 000·(1+258365​·0.18)=1 127 232.88 руб.
    2) Обыкновенные проценты с точным числом дней (365/360)
    S=1 000 000·(1+258360​·0.18)=1 129 000 руб.
    3) Обыкновенные проценты с приближённым числом дней (360/360)
    Количество дней между датами: 255
    Январь, 10 дней: с 21.01 по 30.01
    Февраль, Март, Апрель, Май, Июнь, Июль, Август, Сентябрь по 30 дней
    Октябрь, 5 дней: с 01.10 по 05.10
    Итого: 10 + 30*8 + 5 = 255
    S=1 000 000·(1+255360​·0.18)=1 127 500 руб.
  2. Через d = 180 дней после подписания договора должник уплатит S = 310 тыс.руб. Кредит выдан под i = 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?
    P=S(1+tT​·i)​
    Находим современную стоимость P=310 000(1+180365​·0.16)​ = 287 328.59 руб.

Сложные проценты — что это такое, формула расчета

Сложный процент — это начисление процентов на уже выплаченные суммы. Таким образом, на большом промежутке времени происходит лавинообразное приращение денег.

Для обычных граждан самым простым примером является банковский вклад. Если деньги пролежали год на депозите, то на следующий год сумма будет уже больше, поэтому и доход будет выше. И так каждый год.

Где

  • Dohod – будущая стоимость (конечный результат);
  • deposit – первоначальная сумма инвестиции;
  • stavka – годовая процентная ставка;
  • num_kap – частота капитализации (сколько раз в году выплачивается сумма);
  • n – количество лет, для которого производится расчет

Где

sum_popolnenie – сумма ежемесячного пополнения;

Если ставка одинаковая из года в год, а пополнение происходит один раз в год, то можно вручную быстро рассчитать итоговый доход. Рассчитаем сложные проценты для процентной ставки 10% годовых из года в год:

первый год: 110%
второй год: 121% (1.1 × 1.1)
третий год: 133.1% (1.1 × 1.1 × 1.1)
и т.д.

Закономерность понятна. Надо просто перемножить количество лет на ставку 1.1 (10%) и сразу получим итоговый доход. К примеру, если бы мы положили сумму 100 тыс. на три года под 10% и каждый раз капитализировали проценты, то в конце трех лет имели бы 133.1 тыс. Без капитализации было бы 130 тыс.

Простые проценты начисляются просто путем добавления к сумме инвестирования (без капитализации). Чтобы рассчитать свой доход нужно просто умножить число лет на годовую доходность.

Поделитесь в социальных сетях:vKontakteFacebookTwitter
Напишите комментарий